全天pk10计划

[分享]重力刚度的本质

发表于2019-06-02    588人浏览    1人跟帖    复制链接  只看楼主

筑龙币+0

天魔神主

本文转载自公众号西南交大桥梁

作者:李乔

1

悬索桥的重力刚度


在悬索桥理论中,经常看到一个叫作“重力刚度”的词,其一般的定义是:柔性的主缆因承受(恒载)重力而产生的抵抗(活载)变形的刚度(图1、图2)。由此定义,可以得到以下几个概念:

(1)重力刚度来自恒载的重力;

(2)恒载重力越大,刚度就越大;

(3)重力刚度是指抵抗活载变形的能力,而不是指抵抗恒载变形的能力。因为对于桥梁结构而言,恒载变形能够在建造过程中通过设置预拱度来消除。


很明显,上述的定义和概念都是从工程的视角得出的,它们在工程实际应用领域内是正确的。但如果再向深层次追究,从基本的力学视角来看此问题,又该如何呢?具体点就是:柔性水平索的竖向刚度最本质的来源是什么?是重力吗?这里只分析水平悬挂(两个支点在同一水平面内)的索,对于斜索(两个支点不在同一水平面内),原理一样的。


重力刚度的本质_1

图1  悬索桥(图片引自互联网)


重力刚度的本质_2

图2  悬索的竖向刚度



2

无重水平索的竖向刚度


为了简单易懂且不失一般性,以一根无重量的柔性(无抗弯刚度)水平索为例进行分析。如图3 所示,索的两端支点A和B为铰接,A与B之间的距离为L,索的无应力长度为S=AC+CB,且S>L。


在没有任何外力(亦无自重)情况下,索是松弛的,轴力为零,其构形可以在约束及长度允许范围内呈任意形状。因要研究中点C的竖向刚度,所以设索的初始构形为图3黑线所示的折线形状。此时AC或CB与水平线夹角为t0


当在C处作用一个竖向力P时,索的构形因下挠而成为新的折线状态(图3的蓝线),索的斜线与水平线夹角变为t0+t,索的轴拉力变为T。根据C点竖向平衡条件(图3)容易知道: 

重力刚度的本质_3

这是以索变形后的构形为参考构形所建立的平衡方程,是几何非线性方程(因为T也是t的函数)。

重力刚度的本质_4

图3  无重水平索受力简图


如果在此基础上,在C点又增加一个与P同向的作用力Q,则索产生新的角度增量r和拉力增量R,构形将因新的变形而发生变化(图3的红线),在新的位置处于新的平衡状态。此时有:

重力刚度的本质_5


所以          

重力刚度的本质_6


式(3)是作用力增量Q与变形增量t及 r之间的非线性关系式,其右端第二项是拉力增量R的贡献,而第一项则是原有拉力T(或P)的贡献。以P作用之后且Q作用之前的状态为初始状态,则由于角度增量r与挠度增量C”C’直接相关,因此式(3)也可以理解为“在初始状态基础上产生变形r所需要的竖向力Q的大小”。


从式(3)可以看出,如果不考虑变形增量t和r对构形的影响,即按线形理论计算,则式(3)右端第一项变为零,第二项变为2Rsint0。很明显,对于产生变形r所需要的力Q,考虑几何非线性效应时比不考虑时要大,即前者情况下的刚度比后者大。并且原有的外力P或拉力T越大,式(3)右端第一项所增加的量就越大。因存在初始几何构形(t0)以及几何非线性效应(t+r),使得原有作用力P(或拉力T)产生了对刚度的贡献。其中初始几何构形引起的就是线性理论得到的刚度贡献,变形t+r引起的就是几何非线性效应的刚度贡献。


要严格推导刚度表达式,就要求dP/dt表达式。为简单,设t0=0,并注意T也是t的函数,可容易推导得到C点处的刚度K为:

重力刚度的本质_7

其中E和A分别为索的弹性模量和横截面积。


从式(4)可以看出,t0=0时,索的竖向刚度完全来自变形t对构形的影响,即几何非线性效应。如果没有或者不考虑变形t对构形的影响,则K=0,即没有刚度。

由上可总结出水平索的两个规律:(1)几何非线性效应使竖向刚度加大;(2)初始竖向力P使竖向刚度加大,并且P相对于Q越大,Q所引起的变形r相对于原有的变形t0+t就越小。


上面定性地说明了水平索的竖向刚度与初始作用力P以及几何非线性的关系,严格的理论推导也可以证明上述结论的正确性,此处不赘述。另外,上面只是分析了在中点作用一个竖向力的情况,对于多个集中力或者分布力作用情况,其基本机理是一样的,上面的结论同样有效。 


3

重力刚度本质是几何效应


说到重力,或万有引力,不禁想起它的物理学意义。在万有引力定律中,牛顿认为万有引力是有质量的物体本身所固有的特性。但在广义相对论中,爱因斯坦认为万有引力是时空弯曲产生的几何效应。这里谈这个物理学的概念并不是因为本文问题跟这个直接相关,而是在说法上有点相似,即都与几何效应有关。


从上节的分析可以看出,如果原有作用力P是重力,那么由它所引起的刚度增加就是所谓的重力刚度。可见重力刚度问题只是前述一般问题的一个特例。另外,在上节所总结的两个规律中,刚度的增加都是几何非线性所引起的,因此从力学角度来看,水平索刚度的增加在本质上是几何效应,重力刚度本质上也是几何效应,或者说是“几何刚度”。没有几何非线性效应或者其不明显,即使有重力也不会有明显的刚度增加。相反,如果几何非线性效应明显,不通过重力也能获得较大的刚度增加。例如,图4 所示把上下两根索(红色与蓝色)紧绷且中间用连接索(黑色)相连,就会大幅度提高竖向刚度。

重力刚度的本质_8

图4  两根索相连形成竖向刚度


再次强调,如文章开头所述,本文是从力学基础的视角来看待重力刚度,寻求它的产生根源,而不是从工程的视角来看待的。目的是让读者除了了解其工程意义之外,也了解其力学本质。 


作者简介:李乔,西南交通大学教授,博士生导师,茅以升桥梁研究所所长,在中国公路学会桥梁分会等学术组织任常务理事或理事,在土木工程学报等重要学术期刊任编委会委员。



分享至

分享到微信朋友圈 ×

打开微信"扫一扫",扫描上方二维码
请点击右上角按钮 ,选择 

 发表于2019-06-03  | 只看该作者      

2

重力刚度的本质

举报 点评(0) 点赞(0) 全天pk10计划

全天pk10计划

登录后才能评论,评论超过10个字,有机会获得筑龙币奖励!

筑龙学社APP扫码

立即免费下载资料

分享
北京赛车pk10计划直播 北京pk10计划 PK10计划人工计划 pk10计划 pk10计划 北京赛车pk10计划 pk10计划 北京PK10计划网 全天pk10计划 pk10计划